Exponentielles Wachstum am Beispiel der Steemmonsters / Splinterlands-Booster-Packs

in #deutsch5 months ago

Momentan ist ja das Exponentielle Wachstum in aller Munde, daher habe ich mir einmal gedacht es an den Steemmonsters / Splinterlands-Booster-Packs zu verdeutlichen.

Wie groß ist die Chancen in einem Booster-Pack nur legendäre oder nur Goldfoil-Karten zu erhalten ?

Für diejenigen, die die Zusammenhänge nicht kennen hier noch einmal kurz erklärt:

Jede Karte hat eine Rarität und ein Attribut.

Die Rarität kann common, rare, epic oder legendär sein.
Das Attribut kann regular oder goldfoil sein.

Die Chancen sind:

Rarität:
common 75,2%
rare 20%
epic 4%
legendär 0,8%

Attribut:
regular 98%
goldfoil 2%

Wir wollen uns nur mit legendären- und goldfoil-Karten beschäftigen.

Hierzu bietet Steemmonsters / Splinterlands noch Potions an mit denen man die Chance eine legendären- und/oder goldfoil-Karte bekommen kann verdoppeln kann (bzw. bei einer Einsatz beider Potions vervierfacht sich die Chance auf eine legendäre Goldfoil-Karte).

Also gibt es vier Chance, die wir betrachten wollen:

  • Chance legendäre Karte ohne Potion = 0,8%
  • Chance legendäre Karte mit Potion = 1,6%
  • Chance goldfoil Karte ohne Potion = 2%
  • Chance goldfoil Karte mit Potion = 4%

Die Unterschiede zwischen den einzelnen Stufen scheinen ja gar nicht groß, aber schauen wir uns doch einmal an wie sich diese entwickeln wenn wir die Frage stellen:

  • Wie hoch ist die Chance einen Booster-Pack zu öffnen in dem sich 5 legendäre Karten oder 5 Goldfoil-Karten befinden.

Da sich in jedem Boosterpack 5 Karten befinden wäre dies also ein Booster-Pack, der nur legendäre oder nur Goldfoil-Karten enthält.

Also rechnen wir:

  • Chance legendäre Karte ohne Potion = 0,8% = 125 x 125 x 125 x 125 x 125 = 30.517.578.125‬
  • Chance legendäre Karte mit Potion = 1,6% = 62,5 x 62,5 x 62,5 x 62,5 x 62,5 = 953.674.316,40625
  • Chance goldfoil Karte ohne Potion = 2% = 50 x 50 x 50 x 50 x 50 = 312.500.000
  • Chance goldfoil Karte mit Potion = 4% = 25 x 25 x 25 x 25 x 25 = 9.765.625

Die obigen Zahlen ergeben sich darauf, dass man im statistischen Mittel 125 Booster-Packs öffnen muss damit die 1. Karte (nicht eine beliebige) eine legendäre Karte ist. Nur in diesem Fall interessiert uns was die 2. Karte ist u.s.w.

Wie man also sieht erhöht die legendäre Potion die Chance also enorm fünf legendäre Karten in einem Pack zu erhalten von 1 Pack aus 30.517.578.125 auf 1 Pack aus 953.674.316 - ohne Taschenrechner sieht man, dass die Potions die Chancen mehr als verdreizigfachen, auch wenn sie natürlich immer noch extrem gering ist.

Zum Vergleich: Die Chancen auf einen Sechser im Lotto mit Superzahl ist mit 1 aus ca. 140 Millionen Reihen noch sehr viel größer als die Chance auf einen Booster-Pack mit 5 legendären Karten (bei Einsatz von Potions) mit 1 aus mehr als 950 Millionen Packs.

Steemmonsters / Splinterlands kennt bisher vier verschiedene Packs:

  • 300.000 Alpha-Packs
  • 900.000 BETA-Packs
  • 200.000 Orbs
  • 1,5 Millionen UNTAMED-Packs

Genau genommen ist es so, dass bei den 300.000 Alpha-Packs keine Potions beim Öffnen angewendet werden können, aber vernachlässigen wir dies einmal und zählen alle zusammen dann kommen wir auf 2,9 Millionen Packs.

Würde man alle mit Goldfoil-Potions öffnen wäre die Chance aus 2,9 Millionen Packs einen mit nur Goldfoil-Karten zu erhalten immerhin bei 29,7%. Öffnete man alle ohne Goldfoil-Potion dagegen nur bei 0,9%. Man sieht also was eine Verdoppelung der Chancen bei fünf hintereinander geöffneten Karten an Chancenverbesserung bringt.

Sort:  

Chance legendäre Karte ohne Potion = 0,8% = 125 x 125 x 125 x 125 x 125 = 30.517.578.125‬

0,8 % ≠ 30517578125‬ Karten.
0,8 % (Wahrscheinlichkeit) ≙ (durchschnittlich dem Öffnen von) 30517578125‬ Karten, um fünf legendäre Karten hintereinander zu ziehen.

Ich denke, die Wahrscheinlichkeit wäre sogar noch kleiner, denn es reicht nicht, fünf legendäre Karten hintereinander zu ziehen ... nein, sie müssen auch im selben Pack sein! Wenn du mehrere Packs öffnest und z. B. zwei in einem Pack sind und die nächsten drei im folgenden Pack, hättest du zwar fünf gewünschte Karten hintereinander, aber trotzdem keinen Pack mit fünf legendären Karten gezogen ... :-)

M.E. stimmt die Wahrscheinlichkeit, denn der Grundsatz gilt: Wahrscheinlichkeitsrechnung hat kein Gedächtnis, d.h. auch wenn Du gerade eine legendäre Karte bekommen hast ist die Chance, dass die nächste Karte legendär ist genau so groß wie immer.

Etwas anderes ist es nur wenn - wie z.B. beim Lotto - eine gezogene oder nicht gezogene Karte ( bzw. in dem Fall Kugel) die Wahrscheinlichkeit verändert. Beim Lotto ist es ja so, dass eine Kugel, die bereits gezogen wurde nicht noch einmal gezogen werden kann und dies verändert die Wahrscheinlichkeit:

  1. Kugel = 6 aus 49, d.h. Chance = 12,24%

Hast Du die 1. Kugel richtig hast Du danach nur noch 5 Zahlen im weiteren Rennen, d.h. die Wahrscheinlichkeit das auch die 2. Kugel richtig ist wird deutlich kleiner:

5 aus 48 = 10,42%

Hast Du dagegen die 1. Kugel nicht richtig so erhöht sich Deine Chance leicht:

6 aus 48 = 12,5%

Das ist ja das Gemeine am Lotto, dass Du mit jeder richtig gezogenen Kugel die Wahrscheinlichkeit, dass auch die nächste Kugel richtig ist deutlich reduzierst. Ohne diesen Effekt wäre die Chance statt 1: 13.983.816 viel höher nämlich 1: 296.666.

Zurück zu den Packs:

Also wenn Du zustimmst, dass Wahrscheinlichkeitsrechnung kein Gedächtnis hat, dann öffnen wir einen (neuen) Pack und habe eine Chance von 1:125, dass es eine legendäre Karte ist u.s.w. und kommen so auf den entsprechenden Wert von oben.

Also wenn Du zustimmst, dass Wahrscheinlichkeitsrechnung kein Gedächtnis hat, dann öffnen wir einen (neuen) Pack und ...

Ja, ich wollte nur mal schauen, ob ich dich verunsichern kann. ;-)

(Abgesehen davon würde ich aber wirklich nicht schreiben "0,8 % = ...". Das stimmt so ja nicht und könnte dazu führen, dass jemand, der nicht so gut mit der Materie vertraut ist, deine Gedankengänge schwerer nachvollziehen kann.)

OK ich hätte das deutlicher schreiben können, aber ich dachte, dass mein Post sowieso bereits recht lang ist und wenn ich noch anfange zu erklären, dass 1 legendäre Karte in 125 Karten nur ein Wahrscheinlichkeitswert ist und das man auch 0 legendäre Karten in 125 Karten haben kann oder natürlich auch mehrere, vielleicht noch die Gaußsche Normalverteilung erläutern dann hätte das m.E. den Rahmen des Post gesprengt.

Das meinte ich nicht, sondern, dass du besser formuliert hättest: "0,8 % Wahrscheinlichkeit für eine Karte entspricht (≙) durchschnittlich dem Öffnen von 125 * 125 * 125 * 125 * 125 = 30517578125‬ Karten, um fünf legendäre Karten hintereinander zu ziehen."

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